Kan 擴張 - .｡oO(さっちゃんですよヾ(〃l

Kan 擴張

Kan extension

Kan拡張 - Wikipedia

Kan拡張の解説 | Mathpedia

Kan extension in nLab

https://alg-d.com/math/kan_extension/#:~:text=06微修正)-,第2章%E3%80%80全ての概念はKan拡張である,-Kan拡張%E3%80%80PDF

全ての概念はKan拡張である、とは何か - algebraic dialy | 壱大整域

もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ― #数学 - Qiita#カン拡張

なにゆえにカン拡張なのか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

Kan 拡張概略 — Avendia

擴張 (射)に 2-射 (自然變換) を考慮したもの。自然變換の向きによって左右が區別される

左 Kan 擴張$ {\rm Lan}_F X,$ F_!,$ F^\dagger X

Data.Functor.Kan.Lan

圈と函手$ {\bf B}\xleftarrow{F}{\bf A}\xrightarrow{X}{\bf C}が在る時に、$ Fに沿った$ Xの左 Kan 擴張とは、函手$ L:{\bf B}\to{\bf C}と自然變換$ \epsilon:X\Rarr F;Lとの組で餘普遍性を持つものを言ふ

任意の函手$ M:{\bf B}\to{\bf C}と自然變換$ \alpha:X\Rarr F;Mに對して、自然變換$ \sigma:L\Rarr Mと可換圖式$ F;M\xLeftarrow{\alpha}X\xRightarrow{\epsilon}LF\xRightarrow{\sigma_F}F;Mがただ一つ定まる

自然變換$ \epsilonを左 Kan 擴張の單位 (圈)と呼ぶ

函手$ Lを$ {\rm Lan}_F Xや$ F_!や$ F^\dagger Xとも書く

以下を構成できる

左隨伴

餘極限$ \lim_\to

餘 end

右 Kan 擴張$ {\rm Ran}_F X,$ F_*,$ F^\ddagger X

Data.Functor.Kan.Ran

圈と函手$ {\bf B}\xleftarrow{F}{\bf A}\xrightarrow{X}{\bf C}が在る時に、$ Fに沿った$ Xの右 Kan 擴張とは、函手$ R:{\bf B}\to{\bf C}と自然變換$ \eta:F;R\Rarr Xとの組で普遍 (圈論)性を持つものを言ふ

任意の函手$ M:{\bf B}\to{\bf C}と自然變換$ \mu:F;M\Rarr Xに對して、自然變換$ \delta:M\Rarr Rと可換圖式$ F;M\xRightarrow{\mu}X\xLeftarrow{\eta}RF\xLeftarrow{\delta_F}F;Mがただ一つ定まる

自然變換$ \etaを右 Kan 擴張の餘單位と呼ぶ

函手$ Rを$ {\rm Ran}_F Xや$ F_*とも書く

以下を構成できる

右隨伴

極限 (圈)$ \lim_\larr

end (圈)

各點 (pointwise) Kan 擴張

Kan 持ち上げ (Kan lift)

Kan lift in nLab

Data.Functor.Kan.Lift

持ち上げ (射)

左 Kan 持ち上げ$ F_\dagger X